Nació en Bilbao. Su victoria en el Concurso Internacional de Liverpool de 1959 (ganado un año antes por Zubin Mehta) y su debut con la Sinfónica de Londres en el Royal Festival Hall marcó el inicio de su carrera internacional.
Achúcarro mantiene una ininterrumpida actividad concertística internacional que lo ha llevado a 61 países, actuando en salas como Avery Fisher Hall, Berlin Philharmonie, Carnegie Hall, Concertgebouw, Kennedy Center, Musikverein, Royal Albert Hall, Festival Hall, Barbican, Sala Gaveau, Sala Pleyel, Teatro de la Scala, Suntory Hall, Sydney Opera House, tanto en recitales como de solista, con más de doscientas orquestas diferentes que incluyen la Filarmónica de Berlín, Sinfónica de Chicago, Filarmónica de Nueva York, Filarmónica de Los Ángeles, Scala de Milán, Sinfónica de Sídney, BBC, Filarmónica de Londres, Sinfónica de Londres, Philharmonia, Orquesta de Montreal, Santa Cecilia de Roma, Nacional de Francia, Filarmónica de Tokio, Sinfónica de Tokio, Tonkünstler de Viena, Nacionales de Chile, de México, Colombia, Venezuela y, por supuesto, todas las orquestas españolas, junto a más de 400 directores como Claudio Abbado, Sir Adrian Boult, Riccardo Chailly, Sir Colin Davis, Zubin Mehta, Sir Yehudi Menuhin, Seiji Ozawa y Sir Simon Rattle.
En 2014 SONY reeditó sus famosas Goyescas de Granados. Grabó en DVD el Concierto para piano n.º 2 de Brahms con la Orquesta Sinfónica de Londres y Sir Colin Davis y también Noches en los Jardines de España, de Falla, con la Orquesta Filarmónica de Berlín y Sir Simon Rattle. Su última grabación ha sido un CD con los 24 Preludios, Barcarola y Fantasía Impromptu de Chopin para la compañía La Dolce Volta.
En 2008 se creó la Fundación Joaquín Achúcarro “para perpetuar su legado artístico y docente” y ayudar a jóvenes pianistas. En febrero de 2018 ingresó en la Real Academia de Bellas Artes de San Fernando como académico de honor, y en mayo de 2018 fue investido doctor honoris causa por la Universidad Autónoma de Madrid.